5 Medidas de variabilidade
5.1 Amplitude
A amplitude é uma medida de variabilidade (a mais simples) sendo resultante da diferença entre o maior e menor valor de um conjunto de dados.
5.1.1 R
Exemplo: Bob quer aprender a voar com asa delta, e ele quer saber qual a amplitude máxima que um voo pode ter. A partir dos dados de outros praticantes de voo livre, determine qual a amplitude.
## [1] 22 68## [1] 465.2 Amplitude Interquartil
AIQ, ou amplitude Interquartil, é uma medida de variabilidade que supera valores extremos, sendo este a diferença entre o terceiro e o primeiro quartil, ou seja, a diferença entre 50% dos dados intermediários.
\[AIQ = Q3 - Q1\]
5.3 Variância
A variância é uma medida de variabilidade que utiliza todos os dados, baseando-se na diferença dos dados em relação à média. Essa diferença se chama, desvio em torno da média. Portanto, a variância descreve quão espalhados os dados estão dentro de um conjunto. Medindo a amplitude (variabilidade) dos dados em relação à média.
Não é tão claro de ler o valor em relação ao dados, visto que o valor se encontra ao quadrado da grandeza utilizada na medição dos dados.
\[ \sigma = \frac{\sum(x_{i}-\bar{x})^2}{N}\] Essa fórmula aplica-se para variância populacional - para variância da amostra deve-se usar n - 1, devido a diminuição dos graus de liberdade
\[ S^2 = \frac{\sum(x_{i}-\bar{x})^2}{n-1}\]
5.3.1 R
Maq1 = c(181.9, 180.8, 181.9, 180.2, 181.4)
Maq2 = c(180.1, 181.8, 181.5, 181.2, 182.4)
Maq3 = c(182.1, 183.7, 182.1, 180.2, 181.9)
var(Maq1) ## [1] 0.543## [1] 0.725## [1] 1.545.3.2 Variância para dados agrupados
Amostra:
\[ S^2 = \frac{\sum f_{i}(M_{i}-\bar{x})^2}{n-1}\]
\(M_{i} = \textrm{ponto médio da classe}\)
\(f_{i} = \textrm{frequência da classe}\)
População:
\[ S^2 = \frac{\sum f_{i}(M_{i}-\mu )^2}{n-1}\]
\(M_{i} = \textrm{ponto médio da classe}\)
\(f_{i} = \textrm{frequência da classe}\)
\(\mu = \textrm{média da população}\)
| Tempo de conclusão | Ponto médio da Classe (Mi) | Frequência (fi) | (fiMi) |
|---|---|---|---|
| 10 -14 | 12 | 4 | 48 |
| 15 - 19 | 17 | 8 | 136 |
| 20 - 24 | 22 | 5 | 110 |
| 25 - 29 | 27 | 2 | 54 |
| 30 - 34 | 32 | 1 | 32 |
| Total | 20 | 380 |
\[\bar{x}=\frac{\sum f{i}M{i}}{n}\] \[\bar{x}=\frac{380}{20}=19\]
| Tempo de conclusão | Ponto médio da Classe (Mi) | Frequência (fi) | Desvio (Mi- x) | Desvio Quadrático (Mi- x)2 | fi(Mi- x)2 |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 -14 | 12 | 4 | -7 | 49 | 196 |
| 15 - 19 | 17 | 8 | -2 | 4 | 92 |
| 20 - 24 | 22 | 5 | 3 | 9 | 45 |
| 25 - 29 | 27 | 2 | 8 | 64 | 128 |
| 30 - 34 | 32 | 1 | 13 | 169 | 169 |
| Total | 20 | 570 = \[ S^2 = \frac{\sum f_{i}(M_{i}-\bar{x})^2}{n-1}\] |
\[ S^2 = \frac{570}{20-1} = 30\]
5.4 Desvio Padrão
O desvio padrão indica o grau da variação de um conjunto de dados, podendo este ser amostral ou populacional. Ele e a raiz quadrada positiva da variância. O desvio padrão é mais intuitivo de compreender, por estar na mesma escala da grandeza em análise.
Desvio Padrão da amostra \[\sqrt{s^2}\]
Desvio Padrão da população \[\sqrt{\sigma^2}\] ### R
Exemplo: Um engenheiro precisa decidir entre três modelos de máquinas de corte de alta precisão, para isso ele usa como critério o desvio padrão. A máquina que tiver menor desvio será a escolhida por ele. A partir dos dados de medida de corte das 3 máquinas, determine qual deve ser a escolhida pelo engenheiro.
- Máquina 1 (mm) = (181.9, 180.8, 181.9, 180.2, 181.4).
- Máquina 2 (mm) = (180.1, 181.8, 181.5, 181.2, 182.4).
- Máquina 3 (mm) = (182.1, 183.7, 182.1, 180.2, 181.9).
Maq1 = c(181.9, 180.8, 181.9, 180.2, 181.4)
Maq2 = c(180.1, 181.8, 181.5, 181.2, 182.4)
Maq3 = c(182.1, 183.7, 182.1, 180.2, 181.9)
mean(Maq1)## [1] 181.24## [1] 181.4## [1] 182## [1] 0.7368853## [1] 0.8514693## [1] 1.2409675.5 Coeficiente de variação
O coeficiente de variação indica a quantidade de variação de um conjunto de dados em relação a média.
O valor é dado por uma relação direta do quociente entre o desvio com a média da amostra.
\[Coeficiente = (\frac{\textrm{Desvio Padrão}}{Média}× 100) \% \]
\[Coeficiente = (\frac{\sigma}{\mu}× 100) \% \]
O coeficiente de variação (CV), mede o desvio padrão em termos de percentual da média.
- Um CV alto, indica alta variabilidade dos dados, ou seja, menos consistência dos dados.
- Um CV menor, indica mais consistência dentro do conjunto de dados.
Quando comparamos a consistência entre 2 conjuntos de dados em relação a suas médias, é melhor feito quando utilizamos coeficiente de variação.
5.5.1 R
Exemplo: Imagine que um investidor está decidindo se compra ações da Nike ou Adidas na bolsa de valores.
O valor médio da ação de cada empresa e o desvio padrão, são dados a seguir.
Qual deve ser a escolha do investidor?
Nike => Valor médio da ação = $55.62 / desvio padrão = $5.10
Adidas => Valor médio da ação = $24.86 / desvio padrão = $3.60
\[Coeficiente = (\frac{\textrm{Desvio Padrão}}{Média}× 100) \% \]
## [1] 9.169364## [1] 14.48109